マーカーのリストを取得するには、マーカーを設置した時点で変数に記憶しておく必要があります。 同様に、ポップアップや強調した駅間等の情報もアプリケーション側で記憶しておく必要があります。

var rosen;
var markers = []; // 立てたマーカーを記憶しておく変数

function init() {
  rosen = new Rosen("map", {
    apiKey: "2jr5nchcswemrfjj67jvjaqu",  // アクセスキーはサンプル用です。実際にご利用されるときは書き換えてください。
  });

  var shinbashi = 22751;
  var tokyo = 22828;
  var akasaka = 22486;

  rosen.setStationMarker(shinbashi).then(function(marker) {
    markers.push(marker);  // マーカーを変数に保存
  });

  rosen.setStationMarker(tokyo).then(function(marker) {
    markers.push(marker);  // マーカーを変数に保存
  });

  rosen.setStationMarker(akasaka).then(function(marker) {
    markers.push(marker);  // マーカーを変数に保存
  });
}

function btnOnClick() {
  var msg = "";
  markers.forEach(function(marker) {
    msg += marker.station.code + ":" + marker.station.name + "\n";
  });
  $('#map_message').text(msg);
}

window.addEventListener('load', init);